Décompositions des mots tassés et auto-dualité de l’algèbre des fonctions quasi-symétriques en mots

Composition du jury :

• Marcelo Aguiar, Rapporteur et Examinateur – Professor, Cornell University
• Loïc Foissy, Rapporteur et Examinateur – Professeur, Université du Littoral Côte d’Opale-
• Jean-Christoph Aval, Examinateur – Chargé de recherche, Université de Bordeaux
• Nantel Bergeron, Examinateur, Professor, York University
• Sylvie Boldo, Examinatrice – Directrice de recherche, Université Paris-Saclay
• Bérénice Delcroix-Oger, Examinatrice – Maîtresse de conférences, Université de Montpellier
• Florent Hivert, Directeur de thèse – Professeur, Université Paris-Saclay
• Viviane Pons, Codirectrice de thèse – Maîtresse de conférences, Université Paris-Saclay

Grâce aux travaux de Foissy, on sait que toutes les algèbres de Hopf bidendriformes sont isomorphes à leur duales, en particulier WQSym. Dans cette thèse, nous avons montré comment construire un isomorphisme bidendriforme combinatoire explicite entre WQSym et sa duale. Pour ceci nous représentons deux décompositions récursives des mots tassés par des nouvelles familles combinatoires appelées forêts biplanes rouge et bleue. On obtient alors deux bases de WQSym et sa duale. L’intérêt de ces bases est qu’en prenant des sous-ensembles explicites, on obtient des bases d’éléments primitifs et totalement primitifs. Nous combinons soigneusement les forêts rouges et bleues pour obtenir des forêts bicolores. Une simple recoloration des arêtes nous permet d’obtenir le premier automorphisme bidendriforme explicite de WQSym.

Mot clés: Algèbres de Hopf bidendriformes, mots tassés, éléments primitifs, éléments totalement primitifs, Ordres partiels